Écriture binaire d'un réel écrit en base 10
Intéressons-nous à l'obtention des chiffres binaires d'un réel positif...
Les chiffres en base 10
On considère le nombre 8643,5712.
Par quel(s) algorithme(s) peut-on obtenir séquentiellement les chiffres de ce nombre ?
Les chiffres de la partie entière
Nous avons déjà vu que les chiffres de la partie entière s'obtiennent par une succession de divisions par 10 (divisions en cascade) →
Les chiffres de la partie entière sont successivement 8, 6, 4 puis 3, il faut donc les lire à contre sens.
Les chiffres de la partie décimale
Puisque
\(8643,5712 = 8 \times 10^3 + 6 \times 10^2 + 4 \times 10^1 + 3 \times 10^0 + \frac{5} { 10^{1}} + \frac {7}{10^{2}} + \frac{1}{ 10^{3}} + \frac{2}{ 10^{4}}\)
les chiffres de la partie décimale s'obtiennent par une succession de multiplications par 10 :
on isole la partie entière à chaque étape (c'est le chiffre suivant) ;
et on multiplie par 10 la partie décimale (nombre de la forme 0,...).
Lorsque le « reste décimal » vaut 0, on s'arrête.
La même succession de multiplications, en ligne :
0,5712 × 10 = 5 + 0,712
0,712 × 10 = 7 + 0,12
0,12 × 10 = 1 + 0,2
0,2 × 10 = 2 + 0,0
Les chiffres de la partie décimale sont successivement 5, 7, 1 puis 2 (lecture dans l'ordre).
Remarque : Sens de lecture...
Les chiffres de la partie entière sont obtenus « à contre-sens » de l'obtention des quotients lors des divisions successives.
Les chiffres de la partie décimale sont obtenus dans l'ordre de l'obtention des parties entières lors des multiplications successives.
Nombre réel de la base 10 vers la base 2
On procède selon le même algorithme :
Soit x un réel positif écrit en base 10.
Les chiffres binaires de la partie entière de x s'obtiennent par des divisions successives (divisions en cascade) par 2.
Les chiffres binaires de la partie décimale s'obtiennent par des multiplications successives par 2.
Exemple : Écriture binaire de 5,625
On écrit d'abord la partie entière 5 en binaire : 5 = (101)2
On écrit ensuite la partie décimale 0.625 en binaire :
0,625 × 2 = 1,25 = 1 + 0,25
0,25 × 2 = 0,5 = 0 + 0,5
0,5 × 2 = 1 = 1 + 0
On a donc 0,625=(0,101)2
En conclusion (5,625)10=(101,101)2
Exemple :
Écrire le nombre réel (21,475)10 en base 2
Simulation : Conversion en ligne...
Vous pouvez utiliser une calculatrice en ligne pour vérifier vos résultats calculés. Un exemple de simulateur : https://www.ma-calculatrice.fr/convertir-binaire-hexadecimal.php