Notation scientifique
En base 10, l'écriture scientifique d'un nombre réel \(x\) est de la forme \(a \times 10^{n} \)où :
\(a\) est un réel de l'intervalle [1;10[
\(n\) un entier relatif (\(a\) et \(n\) étant écrits en base 10).
\(a\) est appelé la mantisse et \(n\) est appelé l'exposant.
Exemple : 2645,47 = 2,64547 x 1000 = 2,64547 x 103
Remarque :
Dans l'écriture scientifique d'un réel, il n'y a qu'un seul chiffre à gauche de la virgule, et ce chiffre est non nul donc 0 ne peut pas être représenté ainsi.
En acceptant des mantisses avec un nombre infini de chiffres, tout réel (sauf 0) peut être représenté par une écriture scientifique.
S'il s'agit d'écrire vraiment la mantisse alors cette mantisse ne peut plus être infinie.
Dans ce cas, on est limité aux décimaux.
Si on ajoute comme contrainte de ne pas dépasser un certain nombre de chiffres pour écrire la mantisse (et l'exposant), on se retrouve avec un nombre très limité de décimaux représentés...
C'est ce qu'il se passe en machine pour le codage des réels par les flottants.
En bref, il faut représenter l'ensemble infini des réels par un ensemble fini de nombres...
Exemple :
Écrire en notation scientifique (base 10) le nombre réel 3 000 000 000.
Identifier la mantisse et l'exposant de cette écriture scientifique.
On a 3 000 000 000 = 3 × 109
La mantisse est 3.
L'exposant est 9.
Vous pouvez vous entraîner avec ce convertisseur en ligne : http://www.learningaboutelectronics.com/LesArticles/Calculatrice-de-notation-scientifique.php#answer
Écriture scientifique en base 2
En base 2, l'écriture scientifique d'un nombre réel \(x\) est de la forme \(a×2^n\) où :
\(a\) est un réel de l'intervalle [1;2[
\(n\) un entier relatif (a et n étant écrits en base 2).
\(a\) est appelé la mantisse et \(n\) est appelé l'exposant.
Remarque :
À nouveau, tout nombre non nul admet une écriture scientifique binaire (en acceptant des mantisses avec un nombre infini de bits).
Puisque la mantisse \(a\) a exactement un bit non nul avant la virgule, cette mantisse est nécessairement de la forme \(1,...\) (puisqu'en base 2, le seul chiffre non nul est 1).
Exemple :
Écrire en notation scientifique (base 2) le nombre réel (1000000000)2.
Identifier la mantisse et l'exposant de cette écriture scientifique.
En décimal, on a \((1000000000)_2=(2^9)_{10}\).
La notation scientifique en base 2 est \((1×2^{1001})_2\).
La mantisse est \((1)_2\).
L'exposant est \((1001)_2\).